这道题中用到的因式分解技巧可能具有普适性，大概是高中知识，但以前没注意，因此记录一下。

$$a^n -b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$$

后半部分括号实际是一个公比为$\frac{b}{a}$等比数列，因此

$$\text{原式}=(a-b)\frac{a^{n-1}\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)}{1-\left(\frac{b}{a}\right)}$$

有了以上结论，由$$\left|\sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a}\right|=\frac{\left|a_n-a\right|}{a_n^{\frac{k-1}{k}}+a_n^{\frac{k-2}{k}}a^{\frac{1}{k}}+…+a_n^{\frac{1}{k}}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}}<\frac{\left|a_n-a\right|}{a^{\frac{k-1}{k}}}<\epsilon$$

因此对于$\forall \epsilon, \exists N, s.t. n>N\text{时}, \left|a_n-a\right|<a^{\frac{k-1}{k}}\cdot\epsilon.$，根据数列极限的定义，$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{a}.$