最近在复习的时候看到了之前写的一个常用极限，但是一时间没有想起来应该如何证明，遂重新证明一下，记录在此：

证明$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^k}{a^n}=0,a>1,k\in \mathbb{N}_+.$$

不妨设$a=1+b, b>0$，则$a^n = (1+b)^n \geqslant C_n^m b^m=\frac{n(n-1)…(n-m+1)}{m!}b^m, 0\leqslant m\leqslant n$. 当$n>2m$时, 一定有$n(n-1)…(n-m+1)>\left(\frac{n}{2}\right)^m$，于是，$$\frac{n(n-1)…(n-m+1)}{m!}b^m\geqslant \left(\frac{n}{2}\right)^m\cdot \frac{1}{m!}\cdot b^m=\left(\frac{b}{2}\right)^m\frac{1}{m!}\cdot n^m$$

$\forall \epsilon>0$，由$$\frac{n^k}{a^n}<\frac{n^{k-m}\cdot m!}{\left(\frac{b}{2}\right)^m}<\epsilon$$

取$m=2k,n>4k$时，有$$\frac{(2k)!}{\left(\frac{b}{2}\right)^{2k}\cdot n^k}<\epsilon$$

$$n>\sqrt[k]{\frac{(2k)!}{\left(\frac{b}{2}\right)^2k\epsilon}}$$

取$N=max\left\{\lfloor\sqrt[k]{\frac{(2k)!}{\left(\frac{a-1}{2}\right)^{2k}\epsilon}}\rfloor+1,4k\right\}$, 当$n>N$时，有$\left|\frac{n^k}{a^n}\right|<\epsilon$，根据数列极限定义，$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^k}{a^n}=0$.

另外还可以由数学归纳法证明，由于比较简单不再赘述。