函数求极限时，有个非常好用的工具，洛必达法则，在求数列极限的时候，也有类似的定理。
在求形如$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}$的数列极限时，若满足以下条件之一：
- $b_n$严格单调，且$b_n\to \infty$；
- $b_n$严格单调，且$a_n\to 0, b_n\to 0$。
且存在(这是充分而非必要条件)$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=l$$
其中$l\in \mathbb{R} \quad or\quad l = \infty$.
则$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l$$
证明详见维基百科。
这也是为什么许多同学在求数列极限时也用洛必达法则（另外需要注意，函数求极限时，洛必达法则的使用也有较强的条件）去求，但是结果是正确的原因。
重要推论，证明见维基百科：
若$a_n\to a$，
- $$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{n}=a$$
- $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^n a_i}=a$$
这里给出一道例题，有了Stolz定理，不用再用迫敛法求极限：
e.g. 求$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sum\limits_{p=1}^n p!}{n!}$
因为$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sum\limits_{p=1}^{n+1} p!-\sum\limits_{p=1}^{n} p!}{(n+1)!-n!}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n+1)!}{n\cdot n!}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}=1$$
所以 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sum\limits_{p=1}^n p!}{n!}=1$.